Производственная функция и выбор оптимального размера производства

ТЕМА 6. ПРОИЗВОДСТВО

Под производством понимается деятельность по использованию факторов производства (ресурсов) с целью достижения наилучшего результата. Если объем использования ресурсов известен, то максимизируется результат и наоборот, если известен результат, которого необходимо достичь, то максимизируется объем ресурсов.

Под затратами понимается все, что фирма (производитель) закупает для дальнейшего использования в целях получения необходимого результата.

Выпуск подразумевает любое благо (продукция или услуга), изготовленное фирмой для продажи. Деятельность фирмы может означать как производственную, так и коммерческую деятельность.

В рамках теории фирмы в целях упрощения представления деятельности принято считать, что фирма производит одно благо.

Поэтому экономическая деятельность фирмы описывается производственной функцией, включающей в себя переменные для выпуска одного вида товара или услуги:

Q = f (F₁, F₂, F₃, … F_n), где

Q – максимальный объем производства при заданных затратах;

F₁, F₂, F₃, … F_n – количество использованных факторов.

В затраты включаются все используемые факторы производства (труд, материалы, оборудование, уровень технико-организационных знаний, при рассмотрении с/х производства учитывается еще один фактор – земля).

При микроэкономическом анализе предполагается, что уровень организационно–технических знаний фиксирован, а все материальные факторы объединяют в один фактор – капитал. Поэтому производственная функция включает в себя два фактора, от которых зависит выпуск продукции: труд и капитал.

Q = f (L, K)

Следовательно, производственная функция характеризует техническую зависимость между количеством применяемых ресурсов и максимальным объемом выпуска продукции в единицу времени.

Производственная функция описывает множество технологически эффективных способов производства, каждый из которых характеризуется определенной комбинацией ресурсов, необходимых для получения единицы продукции при данном уровне технологии. Как технологическое соотношение производственная функция может быть определена только эмпирическим путем посредством изменения фактических показателей.

Производственная функция имеет ряд особенностей или свойств:

1) факторы производства являются взаимодополняющими;

2) отсутствие одного из факторов делает производство невозможным;

3) производственная функция, использующаяся на макроуровне, именуется функцией Кобба-Дугласа:

Q = f (k*Ka*Lb), где

Q — максимальный объём выпуска продукции;

K — затраты капитала;

L – затраты труда;

a, b — эластичность выпуска по затратам соответствующих факторов (капитала и труда); k – коэффициент пропорциональности или масштабности в отрасли.

4) производственная функция непрерывна и не имеет ограничений по времени, а следовательно, свидетельствует о непрерывности производственного процесса.

Виды производственных функций:

Производственные функции бывают статические и динамические.

Статические производственные функции имеют следующий вид:

Y = f (x₁,x₂,…x_n)

Они не включают в себя показатель времени, т.е. не содержат время как фактор, изменяющий основные производственные характеристики изучаемой зависимости.

Среди статических производственных функций наиболее часто встречаются линейные функции (y = a + a₁x₁ + a₂x₂) и функция Кобба-Дугласа.

Динамические производственные функции имеют следующий вид:

y = f (t , x_i (t) …х_n(t)), где:

x_i (t) – представляет собой динамику изменения определенного производственного фактора в зависимости от времени;

t – представляет собой временную независимую переменную, которая в неявном виде отражает воздействие всех неучтенных факторов на результативность показателя у.

Рассмотрим графическое представление производственной функции. Графиком двухфакторной функции Q = f (L,K) является изокванта, которая представляет собой линию постоянного уровня выпуска. Т.е. изокванта — есть кривая равного продукта или множество возможных комбинаций факторов труда и капитала, при котором достигается один и тот же выпуск продукции.

Рис. 1.6. Двухфакторная производственная функция

Чем дальше от начала координат расположена кривая, тем больше выпуск продукции.

Карта изоквант представляет собой набор изоквант, каждая из которых показывает максимальный объем выпуска продукции при использовании определенного сочетания факторов производства.

Рис. 2.6. Карта изоквант

К свойствам изоквант относят:

1) отрицательный наклон;

2) вогнутость к началу координат;

3) никогда не пересекаются;

4) показывают различные уровни производства.

Чем дальше от начала координат расположена изокванта, тем больший объем выпуска продукции она показывает.

Свойства производственной функции

1. Производственная функция должна задаваться положительно определенной, дважды дифференцируемой по всем своим аргументам функцией.
2. Производственная функция обращается в нуль, если отсутствует хотя бы один из ресурсов x₁, x₂, … ,x_n.
   Невозможно полностью заменить один фактор производства комбинацией других факторов. Возможно лишь частичное замещение одного фактора другими в некоторой ограниченной области.
3. С увеличением любого из ресурсов объем производства возрастает dY/dx_i.
4. При увеличении любого из ресурсов предельная эффективность является убывающей функцией.
5. Производство должно обладать свойством масштабируемости: при одновременном увеличении всех затрат в λ раз количество произведенного продукта также должно увеличиться в λ раз.

Примернеоклассическими0.4040.803

Степень однородности этой производственной функции γ = 0.404 + 0.803 = 1.207. Это означает, что при увеличении капитальных и трудовых затрат в λ раз объем производства увеличится в λ1.207 раз, что характерно для развивающейся экономики.
Средняя фондоотдача AY_K равна отношению произведенного продукта к величине затраченного капитала:
Средняя производительность труда AY_L равна отношению произведенного продукта к величине  затраченного труда L:
Предельная фондоотдача находится как производная объема произведенного продукта Y по величине затраченного капитала K:
Предельную производительность труда, или предельный продукт труда, MY_L определим как частную производную продукта Y по величине затраченного труда L:
Эластичность продукта по фактору.
Коэффициентом эластичности продукта по i-фактору называется относительное изменение продукта, выраженное в процентах, при относительном увеличении i-фактора на 1%.
Эластичность по i-фактору равна отношению предельного продукта к среднему продукту по этому фактору.
эластичность производственной функции по фондам равна ε_K = α = 0.404
эластичность производственной функции по труду равна ε_L = β = 0.803
Если эластичность выпуска по фондам α больше эластичности выпуска по труду, экономика имеет трудосберегающий (интенсивный) рост. Если выполняется обратное неравенство и β > α, то имеет место фондосберегающий (экстенсивный) рост экономики, когда увеличение  трудовых ресурсов на 1% приводит к большему росту объема производства, нежели такое же увеличении фондов.
Эластичность масштаба производства.
Средним продуктом масштаба производства называется отношение продукта, полученное при увеличении факторов производства в λ раз, к коэффициенту масштабирования λ :
AY_λ = λ0.2072.248K0.404L0.803Предельный продукт масштаба производства определяется как прирост продукции при изменении масштаба производства на единицу:
MY_λ = 0.207 λ0.2072.248K0.404L0.803Коэффициентом эластичности масштаба производства называется отношение предельного продукта масштаба к среднему продукту масштаба:
Таким образом, коэффициент эластичности масштаба производства всегда равен степени однородности производственной функции.
Предельная норма замещения факторов производства.
Предельную норму замещения i-фактора производства j-фактором M_ij определим соотношением:
Для нашей модели:

Норма замещения фондов трудовыми ресурсами в явном виде: RST_K,L = L / K

Норма замещения трудовых ресурсов производственными фондами в явном виде: RST_L,K = K / L

Назовем изоклиной множество точек области определения производственной функции, для которых предельная норма замещения i-го фактора производства j-м постоянна.
Для наших данных получаем искомое уравнение семейства изоклин:
K = 1.988M_LK • L
Как и следовало ожидать, семейство изоклин является семейством прямых линий, выходящих из начала координат. Каждому значению предельной нормы замещения труда капиталом соответствует своя линия.

На рис. изображены две изоклины семейства для значений M_LK = 5 и M_LK = 2.

Рис. Изокванты и изоклины для производственной функции Y = 2.248K0.404L0.803

Практический пример построения производственной функции Кобба-Дугласа с использованием программы MS Excel

Функция Кобба–Дугласа (зависимость объёма производства от создающих его факторов производства – затрат труда и капитала) предполагает, что эти факторы могут дополнять друг друга и даже заменять.

Производственная
функция Кобба-Дугласа строится на основе исходных статистических данных о
динамике выпуска продукции и использованных производственных факторах
(основного капитала и трудовых ресурсов).

Для начала выберем объект исследования (предприятие, фирму). На наш взгляд, наиболее подходящим вариантом является производственное предприятие. Поэтому выбираем СПК «Береговой».

В таблице 1. представлена динамика
обобщенных экономических показателей деятельности СПК «Береговой» за 2015-2017
гг.

Таблица 1 – Основные экономические показатели деятельности  СПК «Береговой» за 2015-2017 гг.

Как было показано в таблице 1, у нас имеются данные по среднегодовой величине основного капитала и численности работников, а также объемам продажи (условно производства) сельскохозяйственной продукции, для этого используем программу MS Excel. Сразу стоит отметить, что т.к. данные имеются всего за 3 года, предшествующие периоды с 2003 по 2014 гг. вставим приблизительные данные (рисунок 3).

Программа для построения производственной функцииСкачать

Первоначальные данные для построения производственной функции Кобба-Дугласа с использованием программы MS Excel

Далее используем представленные формулы и производим согласно лекции расчетные операции (рисунок 4).

Расчетные итоги для построения производственной функции Кобба-Дугласа с использованием программы MS Excel

Далее с помощью этой же программы формируем графически рисунок для сравнения фактических и расчетных значений (рисунок 5).

Сравнение фактических и расчетных данных

Построим производственную функцию графически (рисунок 6)

Производственная функция для СПК «Береговой»

Мы построили
производственную функцию для 2015 и 2017 года, где показано, что рост капитала
и рост количества работников является фактором роста объемов производства
продукции.

В 2016 году, ситуация была обратная, в этот период по сравнению с 2017 годом на предприятии было больше работников, а также больше основных средств, но это не привело к высокому уровню объемов производства, из чего следует сделать вывод, что на объем производства влияют также другие факторы, особенно это может проявляться в сельском хозяйстве. К таким факторам можно отнести (климатические условия, урожайность, внесение удобрений и т.п.).

Неоклассическая производственная функция

Пусть Y{\displaystyle Y} — выпуск, а x=(x1,x2,…,xn){\displaystyle x=(x_{1},x_{2},…,x_{n})} — факторы производства (обычно K{\displaystyle K} — капитал и L{\displaystyle L} — труд). Производственная функция Y=F(x){\displaystyle Y=F(x)} является неоклассической, если выполнены следующие условия:

1) Положительная и убывающая предельная производительность факторов :

Fxi′>,Fxi″<{\displaystyle F_{x_{i}}^{‘}>0,F_{x_{i}}^{»}<0}

2) Линейная однородность или постоянная отдача от масштаба:

F(λx)=λF(x){\displaystyle F(\lambda x)=\lambda F(x)}

Отсюда следует, в частности, что производственную функцию можно представить как Yxi=f(xxi){\displaystyle Y/x_{i}=f(x/x_{i})}, в частности, для двух факторов — капитала и труда, обычно представляют следующим образом: YL=f(KL){\displaystyle Y/L=f(K/L)}, то есть как зависимость производительности труда от его капиталовооруженности. Кроме того, выполнена теорема Эйлера об однородных функциях: ∑i=1nFxi′xi=Y{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{x_{i}}^{‘}x_{i}=Y}.

3) Условия Инады:

limxi→Fxi′=∞{\displaystyle \lim _{x_{i}\rightarrow 0}F_{x_{i}}^{‘}=\infty }, limxi→∞Fxi′={\displaystyle \lim _{x_{i}\rightarrow \infty }F_{x_{i}}^{‘}=0}

Первое условие Инада означает, что все факторы нужны для производства. Второе — что выпуск неограниченно растет при неограниченном росте каждого фактора.

4) Дополнительным свойством является существенность производственного ресурса: ресурс является существенным, если для выпуска требуется положительный объём ресурса:

F(,L)=F(K,)={\displaystyle F(0,L)=F(K,0)=0}.

Функция Кобба-Дугласа